Экзаменационные билеты по
геометрии предназначены для проведения
устной итоговой аттестации выпускников ХI(ХII)
классов общеобразовательных школ по курсу
«А», общеобразовательному курсу и курсу «В».
В каждый билет для
курса «А» рекомендуется включить три
вопроса
При ответе на первый вопрос
учащийся должен либо воспроизвести
некоторый теоретический факт, либо
описать свойства одного из геометрических
тел, либо воспроизвести формулу и
проиллюстрировать на примерах.
Второй и третий вопросы билета,
направленные на проверку степени
овладения учащимися основными умениями,
представляют собой задачи, уровень
сложности которых определяется
программой как обязательный.
В каждом билете должен быть
представлен материал, относящийся к
разным классам и разным геометрическим
телам.
Образец
экзаменационного билета
1. Теорема о диагонали прямоугольного
параллелепипеда (формулировка и пример).
2. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а
его образующая — 9 см. Найдите площадь
осевого сечения.
3. В правильной четырехугольной пирамиде
сторона основания равна 10 см, а высота — 12
см. Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
В каждый билет для
общеобразовательного курса и курса «В»
рекомендуется включить четыре вопроса.
При ответе на первый вопрос
учащийся должен либо воспроизвести
некоторый теоретический факт, либо
описать свойства одного из геометрических
тел, либо воспроизвести формулу или
алгоритм построения и проиллюстрировать
на примерах.
Второй вопрос отражает основной
теоретический материал курса. При ответе
на него учащийся должен доказать
сформулированные свойства или признаки
геометрических фигур.
Третий вопрос билета
представляет собой задачу, уровень
сложности которой определяется как
обязательный.
Четвертый вопрос билета также
является задачей, уровень сложности
которой определяется как повышенный (список
основных типов задач повышенного уровня
приводится ниже).
Учащимся предоставляется
возможность выбрать для решения одну из
двух предложенных задач.
В каждом билете должен быть
представлен материал, относящийся к
разным классам и разным геометрическим
телам.
Образец
экзаменационного билета.
1. Формула объема прямоугольного
параллелепипеда (формула и пример).
2. Теорема о трех перпендикулярах.
3. Образующая конуса наклонена к
плоскости основания под углом 30°, а его
высота равна 12 см. Найдите площадь его
боковой поверхности.
4. Через сторону нижнего основания
правильной треугольной призмы проведена
плоскость, пересекающая боковые грани по
отрезкам, угол между которыми равен.
Найдите угол наклона этой плоскости к
основанию призмы.
Курс «А»
Билет № 1
1. Взаимное расположение двух прямых в
пространстве (формулировки и примеры).
2. Задача по теме «Объем тел вращения»
(типа № 26).
3. Задача по теме «Призма» (типа № 5).
Билет № 2
1. Взаимное расположение двух плоскостей
(формулировки и примеры).
2. Задача по теме «Поверхности тел
вращения» (типа № 18).
3. Задача по теме «Прямоугольный
параллелепипед» (типа № 8, 9).
Билет № 3
1. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве (формулировки и
примеры).
2. Задача по теме «Объем тел вращения»
(типа № 22).
3. Задача по теме «Пирамида» (типа № 11,
12)
Билет № 4
1. Призма. Боковая поверхность прямой
призмы. Прямая и правильная призмы (формулировки
и примеры).
2. Задача по теме «Шар» (типа № 24).
3. Задача по теме «Объем пирамиды» (типа
№ 15, 16).
Билет № 5
1. Параллелепипед. Прямоугольный
параллелепипед. Свойство противолежащих
граней параллелепипеда. Теорема о
диагонали прямоугольного параллелепипеда
(формулировки и примеры).
2. Задача по теме «Цилиндр» (типа № 17).
3. Задача по теме «Площадь полной
поверхности пирамиды» (типа № 13).
Билет № 6
1. Пирамида. Правильная пирамида. Боковая
поверхность правильной пирамиды (формулировки
и примеры).
2. Задача по теме «Конус» (типа № 21).
3. Задача по теме «Площадь полной
поверхности прямоугольного
параллелепипеда» (типа № 10).
Билет № 7
1. Цилиндр. Сечения цилиндра плоскостями.
Площадь боковой поверхности цилиндра (формулировки
и примеры).
2. Задача по теме «Взаимное
расположение прямых и плоскостей в
пространстве» (типа № 1).
3. Задача по теме «Площадь сферы» (типа
№ 25).
Билет № 8
1. Конус. Сечения конуса плоскостями.
Площадь боковой поверхности конуса (формулировки
и примеры).
2. Задача по теме «Взаимное
расположение прямых и плоскостей в
пространстве» (типа № 2).
3. Задача по теме «Площадь поверхности
цилиндра» (типа № 19).
Билет № 9
1. Сфера и шар. Сечения шара плоскостями.
Площадь сферы (формулировки и примеры).
2. Задача по теме «Взаимное
расположение прямых и плоскостей в
пространстве» (типа № 4).
3. Задача по теме «Пирамида» (типа №
14).
Билет № 10
1. Формулы объема многогранников:
прямоугольного параллелепипеда,
наклонного параллелепипеда, призмы и
пирамиды (формулы и примеры).
2. Задача по теме «Взаимное
расположение прямых и плоскостей в
пространстве» (типа № 3).
3. Задача по теме «Площадь поверхности
тела вращения» (типа № 23).
Билет № 11
1. Формулы объема тел вращения: цилиндра,
конуса, шара (формулы и примеры).
2. Задача по теме «Сечения
многогранников» (типа № 6, 7).
3. Задача по теме «Площадь поверхности
тела вращения» (типа № 20).
Общеобразовательный
курс и курс «В»
Билет №1
1. Взаимное расположение двух прямых в
пространстве (формулировки и примеры).
2. Касательная плоскость к шару.
3. В правильной четырехугольной пирамиде
высота равна 12 см, а апофема — 15 см. Найдите
боковое ребро пирамиды.
4. Ребро куба равно а. Найдите
расстояние от вершины куба до его
диагонали, соединяющей две другие вершины.
Билет №2
1. Взаимное расположение двух плоскостей
(формулировки и примеры).
2. Признак перпендикулярности прямой и
плоскости.
3. Прямоугольный треугольник, гипотенуза
которого равна 17 см, а один из катетов — 8
см, вращается около этого катета. Найдите
площадь поверхности тела вращения.
4. Найдите боковую поверхность пирамиды,
если площадь основания равна S, а
двугранные углы при основании равны .
Билет №3
1. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве (формулировки и
примеры).
2. Объем цилиндра.
3. В правильной треугольной пирамиде
боковое ребро равно 4 см, а сторона
основания — 6 см. Найдите объем пирамиды.
4. Два равных шара радиуса R
расположены так, что центр одного лежит на
поверхности другого. Найдите длину линии,
по которой пересекаются их поверхности.
Билет №4
1. Свойства параллельных плоскостей.
2. Теорема о боковой поверхности прямой
призмы.
3. Образующая конуса наклонена к
плоскости основания под углом 30°, а его
высота равна 12 см. Найдите площадь его
боковой поверхности.
4. Через основание трапеции проведена
плоскость, отстоящая от другого основания
на расстоянии а. Найдите расстояние от
точки пересечения диагоналей трапеции до
этой плоскости, если основания трапеции
относятся как т : п.
Билет №5
1. Перпендикуляр и наклонная к плоскости (формулировки
и примеры).
2. Свойство противолежащих граней
параллелепипеда.
3. Найдите площадь сечения шара радиуса 41
см, проведенного на расстоянии 9 см от
центра.
4. Через концы отрезка АВ,
пересекающего плоскость A,
и его середину М проведены
параллельные прямые, пересекающие
плоскость а в точках А1, В1 и
М1. Найдите длину отрезка ММ1,
если АA1, = а, а ВВ1 = b.
Билет №6
1. Расстояние между скрещивающимися
прямыми (формулировка и пример).
2. Площадь боковой поверхности конуса.
3. В основании пирамиды лежит
прямоугольный треугольник, гипотенуза
которого равна 15 см, а один из катетов — 9
см. Найдите площадь сечения, проведенного
через середину высоты пирамиды
параллельно ее основанию.
4. Плоскости A и B пересекаются по прямой а и
перпендикулярны плоскости C.
Докажите, что прямая а перпендикулярна
плоскости B.
Билет № 7
1. Угол между скрещивающимися прямыми (формулировка
и пример).
2. Объем призмы.
3. В правильной четырехугольной пирамиде
сторона основания равна 10 см, а высота — 12
см. Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
4. В цилиндр вписана правильная
шестиугольная призма. Найдите угол между
диагональю ее боковой грани и осью
цилиндра, если радиус основания равен
высоте цилиндра.
Билет №8
1. Угол между прямой и плоскостью (формулировка
и пример).
2. Объем пирамиды.
3. Высота прямой призмы равна 10 см, а ее
основанием является прямоугольник,
стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите
площадь диагонального сечения.
4. Тело ограничено двумя
концентрическими шаровыми поверхностями.
Докажите, что его сечение плоскостью,
проходящей через центр, равновелико
сечению, касательному к внутренней
шаровой поверхности.
Билет № 9
1. Угол между плоскостями (формулировка и
пример).
2. Площадь сферы.
3. В правильной четырехугольной пирамиде
высота равна 7 см, а боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом
45°. Найдите объем пирамиды.
4. Докажите, что площадь поверхности куба
равна 2d2, где d — диагональ
куба.
Билет № 10
1. Двугранный угол. Линейный угол
двугранного угла (формулировки и примеры).
2. Теорема о боковой поверхности
правильной пирамиды.
3. Прямоугольник, стороны которого равны 6
см и 4 см, вращается около меньшей стороны.
Найдите площадь поверхности тела вращения.
4. Докажите, что если данная прямая
параллельна двум плоскостям, то она
параллельна линии их пересечения.
Билет № 11
1. Трехгранный и многогранный углы (формулировки
и примеры).
2. Площадь боковой поверхности цилиндра.
3. Основание четырехугольной призмы —
квадрат со стороной 10 см. Высота призмы 12
см. Диагональное сечение разбивает данную
призму на две треугольные призмы. Найдите
площади боковых поверхностей треугольных
призм.
4. В правильной треугольной пирамиде
высота равна стороне основания. Найдите
угол между боковым ребром и плоскостью
основания.
Билет № 12
1. Призма (формулировки и примеры).
2. Признак перпендикулярности плоскостей.
3. Радиус основания конуса равен 14 см.
Найдите площадь сечения, проведенного
перпендикулярно его оси через ее середину.
4. В цилиндр наклонно вписан квадрат так,
что все его вершины лежат на окружностях
основания. Найдите сторону квадрата, если
высота цилиндра равна 2 см, а радиус
основания равен 7 см.
Билет № 13
1. Прямая и правильная призмы (формулировки
и примеры).
2. Свойства перпендикулярных прямой и
плоскости (доказательство одного из них).
3. Шар с центром в точке O касается
плоскости в точке А. Точка B лежит в
плоскости касания. Найдите объем шара,
если АВ = 21 см, а ВО = 29 см.
4. Определите, на каком расстоянии от
вершины надо провести плоскость,
параллельную основанию, чтобы площадь
сечения была равна половине площади
основания, если высота конуса равна А.
Билет № 14
1. Параллелепипед. Прямоугольный
параллелепипед (формулировки и примеры).
2. Признак параллельности плоскостей.
3. Сферу на расстоянии 8 см от центра
пересекает плоскость. Радиус сечения
равен 15 см. Найдите площадь сферы.
4. Через сторону нижнего основания
правильной треугольной призмы проведена
плоскость, пересекающая боковые грани по
отрезкам, угол между которыми равен а.
Найдите угол наклона этой плоскости к
основанию призмы.
Билет № 15
1. Пирамида (формулировки и примеры).
2. Объем конуса.
3. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1
проведено сечение через вершину С1,
и ребро АВ. Найдите периметр сечения,
если сторона основания равна 24 см, а
боковое ребро — 10 см.
4. Докажите, что если точка х
равноудалена от концов данного отрезка АВ,
то она лежит в плоскости, проходящей через
середину отрезка AB и перпендикулярной
прямой АВ.
Билет № 16
1. Правильная пирамида (формулировки и
примеры).
2. Свойства изображения пространственных
фигур на плоскости.
3. Осевым сечением цилиндра является
квадрат, диагональ которого равна 3 2
см. Найдите площадь поверхности цилиндра.
4. Плоскость, параллельная основанию
конуса, делит его боковую поверхность на
две части, площади которых равны. В каком
отношении, считая от вершины, эта
плоскость делит высоту конуса?
Билет № 17
1. Цилиндр (формулировки и примеры).
2. Признак параллельности прямой и
плоскости.
3. В основании прямого параллелепипеда
лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и
16 см. Высота параллелепипеда — 8 см.
Найдите площадь его полной поверхности.
4. Найдите боковую поверхность
правильной четырехугольной пирамиды, у
которой диагональное сечение равновелико
основанию, если сторона основания равна а.
Билет № 18
1. Конус (формулировки и примеры).
2. Признак параллельности прямых.
3. В прямоугольном параллелепипеде
стороны основания равны 5 см и 12 см, а
диагональ параллелепипеда наклонена к
плоскости основания под углом 45°. Найдите
высоту параллелепипеда.
4. Площадь боковой поверхности цилиндра
равна Q. Найдите площадь осевого
сечения.
Билет № 19
1. Сфера и шар (формулировки и примеры).
2. Теорема о трех перпендикулярах.
3. В правильной четырехугольной пирамиде
сторона основания равна 12 см, а апофема — 15
см. Найдите боковое ребро пирамиды.
4. Дан прямоугольный параллелепипед. Угол
между диагональю основания и одной из его
сторон равен .
Угол между этой стороной и диагональю
параллелепипеда равен .
Найдите площадь боковой поверхности
параллелепипеда, если диагональ основания
равна k.
| ВВЕРХ
|
Школа с углубленным
изучением предмета.
Настоящие экзаменационные билеты
составлены на основе программы по
геометрии для школ (классов) с углубленным
изучением предмета, а значит — не «привязаны»
ни к какому конкретному учебнику.
Тематическим планированием учебного
материала, отраженного в заданиях билетов,
предусмотрено не менее трех часов в неделю
на изучение предмета в 10 и 11 классах.
Билет включает в себя три вопроса,
относящиеся к разным темам курса: первый и
второй вопросы носят теоретический
характер, в третьем — экзаменующемуся
предлагается две задачи.
Учитывая тот факт, что в школах (классах)
с углубленным изучением геометрии на
сегодняшний день существует различный
уровень требований к учащимся, и,
следовательно, уровень их
подготовленности также различен,
преподавателю предоставляется
возможность самому определять, что ученик
должен дать с доказательством или выводом,
а что без него. Для получения высшей оценки
необходимо доказать не менее двух теорем и
решить одну задачу.
При составлении билетов учитель может
воспользоваться своими задачами или
задачами из «Сборника задач по геометрии
для проведения устного экзамена в 9 и 11
классах» (авт. Д.И.Аверьянов, Б.Н.Пигарев, А.Р.Рязановский;
Изд-во «Просвещение», 1996 г.).
Билет №1
1. Параллельность прямых в пространстве.
Теорема о двух прямых, параллельных
третьей.
2. Расстояние в пространстве.
Геометрические места точек,
равноудаленных от двух точек, трех точек,
двух плоскостей.
3. Задача по теме «Векторы в
пространстве; скалярное произведение»:
а) в прямоугольной декартовой системе
координат заданы векторы а(2; 1; -1) и b(1;
2; -1). Найдите координаты вектора с, если
c a, с b, |с| = 2ll,
а угол между с и осью Ох тупой;
б) ребро правильного тетраэдра ABCD
равно а, вектор АС = вектору e1,
вектор АС = вектору e2, вектор АD
= вектору e3, Точка О — центр
треугольника AВС. Точка Р лежит на
ребре BD, а точка L — на ребре АС,
причем ВР : PD = 2 : 1, AL : LС =1: 2.
Найдите, вектор LP вектор OD .
Билет № 2
1. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве. Признак
параллельности прямой и плоскости.
2. Трехгранные и многогранные углы.
3. Задача по теме «Комбинации
многогранников и тел вращения»:
а) шар касается всех ребер пирамиды MNKP.
Докажите, что MN + КР = МК + NP = МР + KN;
б) около шара описана правильная
треугольная призма, а около призмы описан
шар. Найдите отношение площадей
поверхностей этих шаров.
Билет №3
1. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости.
2. Задание сферы и шара в пространстве с
помощью координат.
3. Задача по теме «Сечения
многогранников»:
а) в правильной треугольной пирамиде,
сторона основания которой равна а, а
боковое ребро — 3а, проведено сечение
параллельно боковому ребру. Найдите
площадь этого сечения, если оно является
ромбом;
б) постройте сечение куба ABCDA1B1C1,
проходящее через точку пересечения
диагоналей грани ABCD, параллельно
прямым АВ1 и ВК (K —
середина СС1). Найдите площадь
сечения, если ребро куба равно a.
Билет № 4
1. Связь между параллельностью прямых и
перпендикулярностью прямой и плоскости.
Теорема о двух параллельных прямых, одна
из которых перпендикулярна плоскости.
2. Площадь боковой и полной поверхности
призмы и цилиндра.
3. Задача по теме «Координаты в
пространстве; уравнения плоскости и сферы»:
а) найдите расстояние между плоскостью 2х-2у
- z +3 = 0 и точкой А(0; 2; 2) и угол между этой
плоскостью и прямой ОА, где О — начало
координат;
б) на плоскости х + 2y + 3z = 25 найдите
точку, удаленную на наименьшее расстояние
от точки А(2; —3; 5).
Билет №5
1. Взаимное расположение двух плоскостей.
Признаки параллельности двух плоскостей.
2. Прямая в координатах в пространстве.
3. Задача по теме «Вписанный шар,
описанная сфера»:
а) в треугольной пирамиде ABCD известно,
что АС = 4, ВС = 3, АВС = 90°. Ребро AD длиной 12
перпендикулярно плоскости AВС. Найдите
радиус описанной около пирамиды сферы;
б) найдите боковое ребро правильной
усеченной четырехугольной пирамиды со
сторонами оснований а и b, если в
пирамиду можно вписать шар.
Билет № 6
1. Свойства параллельных плоскостей.
Теорема о единственности плоскости,
проходящей через данную точку,
параллельно другой плоскости.
2. Площадь боковой и полной поверхности
пирамиды и конуса, в том числе усеченных.
3. Задача по теме «Комбинации
многогранников»:
а) найдите отношение объемов
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
и треугольной пирамиды BDC1A1,
б) центры тяжести граней треугольной
пирамиды являются вершинами
многогранника. Найдите отношение объемов
пирамиды и многогранника.
Билет № 7
1. Перпендикулярность двух плоскостей.
Признак перпендикулярности двух
плоскостей.
2. Площадь ортогональной проекции
многоугольника.
3. Задача по теме «Площадь поверхности
сферы, объем шара»:
а) в правильной призме ABCDA1B1C1D1
ребро АВ равно a, угол между АВ1
и DB равен а. Найдите площадь
поверхности шара, проходящего через точки В,
В1, С1 и А1;
б) в полушар вписан цилиндр наибольшего
объема. Найдите отношение объема этого
цилиндра к объему полушара.
Билет № 8
1. Свойства перпендикулярных плоскостей.
Теорема о линии пересечения двух
плоскостей, перпендикулярных третьей
плоскости.
2. Параллельный перенос и его свойства.
3. Задача по теме «Шар»:
а) в куб ABCDA1B1C1D1
вписан шар радиуса R. Найдите площадь
сечения шара плоскостью AD1C;
б) вершина А куба ABCDA1B1C1D1
является центром сферы, а вершина D1
лежит на этой сфере. Найдите длину линий
пересечения сферы и поверхности куба, если
ребро куба а. Сделайте чертеж.
Билет № 9
1. Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о
трех перпендикулярах (2).
2. Правильные многогранники. Формула
Эйлера (без вывода).
3. Задача по теме «Объем конуса,
усеченного конуса»:
а) высоту конуса разделили на 5 равных
частей и провели через каждую точку
деления плоскость, параллельную основанию.
Объем части, заключенной между вторым и
третьим сечениями, равен V. Найдите
объем конуса;
б) образующая усеченного конуса
наклонена к плоскости основания под углом
60°, а центр большего основания равноудален
от меньшего основания и боковой
поверхности конуса. Найдите объем
усеченного конуса, если площадь его
боковой поверхности 2A.
Билет № 10
1. Углы между двумя прямыми в
пространстве. Теорема об углах с
сонаправленными сторонами.
2. Теорема Гюльдена. Площадь поверхности
сферы (с доказательством). Площадь
сферической поверхности сферического
сегмента (без доказательства).
3. Задача по теме «Объем призмы» (4105,
4124):
а) объем треугольной призмы АВСА1В1С1
равен V, а длина бокового ребра равна а.
На прямой АA1, выбирают отрезок MN
длины b. Найдите объем пятигранника MNB1BCC1
(ребра MN, С1С, В1В, В1С1,
ВС, МВ1, МС1, NB, NC);
б) все ребра треугольной призмы касаются
шара радиуса R. Найдите объем призмы.
Билет № 11
1. Взаимное расположение двух прямых в
пространстве. Признаки скрещивающихся
прямых.
2. Векторы в пространстве. Действия над
векторами (кроме скалярного произведения).
Координаты векторов.
3. Задача по теме «Цилиндр, конус»:
а) даны две параллельные плоскости,
расстояние между которыми равно х.
Между ними расположен конус с образующей 25
см и радиусом основания 7 см так, что на
каждой плоскости есть хотя бы одна точка
конуса, а вне плоскостей таких точек нет.
Найдите все возможные значения х;
б) через точку М, лежащую в плоскости
основания цилиндра с радиусом основания 3
и высотой 3 и удаленную от оси цилиндра на
расстояние 7, проводят всевозможные прямые,
имеющие с цилиндром единственную общую
точку. Какие значения может принимать
длина отрезка такой прямой от точки М
до общей точки прямой и цилиндра?
Билет № 12
1. Расстояние между двумя точками в
координатах. Координаты точки, делящей
отрезок в данном отношении.
2. Описанная около многогранника сфера.
Расположение ее центра (на примере сферы,
описанной около призмы).
3. Задача по теме «Призма,
параллелепипед, куб»:
а) диагонали АВ1 и DC1,
граней четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1
параллельны. Докажите, что прямые AD1
и ВС1 также параллельны;
б) дан куб с ребром а. Второй куб
получен поворотом первого на угол A (0 < A < 90°) вокруг ребра. Определите объем общей
части этих кубов.
Билет № 13
1. Скалярное произведение векторов и его
свойства.
2. Построения в пространстве. Построение
плоскости, перпендикулярной прямой и
перпендикулярной плоскости, проходящей
через данную точку.
3. Задача по теме «Объем пирамиды»:
a) высоту пирамиды разделили в отношении 3
: 7, считая от вершины, и провели сечение,
параллельное основанию. В каком отношении
разделится объем пирамиды?
б) в основании пирамиды лежит
треугольник со сторонами 7, 15 и 20. Боковые
ребра пирамиды имеют равную длину, а центр
описанного около пирамиды шара удален от
плоскости основания на расстояние 213/16
. Найдите объем пирамиды.
Билет № 14
1. Взаимное расположение сферы и
плоскости в пространстве. Теорема о
сечении сферы плоскостью.
2. Параллельное проектирование и его
свойства. Изображение фигур на плоскости (треугольник,
параллелограмм, трапеция, тетраэдр,
параллелепипед).
3. Задача по теме «Боковая, полная
поверхность пирамиды»:
а) найдите двугранный угол при ребре
основания правильной четырехугольной
пирамиды, если плоскость, проведенная
через сторону основания, делит этот угол и
боковую поверхность пирамиды пополам;
б) в основании пирамиды объемом 4, 8 лежит
треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найдите
площадь полной поверхности пирамиды, если
ее высота составляет равные углы с
боковыми гранями, а основание высоты
внутри основания пирамиды.
Билет № 15
1. Сечение пирамиды плоскостями,
параллельными основанию. Теорема об
отношении периметров и площадей сечений
пирамиды плоскостями, параллельными
основанию.
2. Поворот вокруг прямой в пространстве и
его свойства. Фигуры вращения.
3. Задача по теме «Угол между двумя
плоскостями, двугранный угол»:
а) основание пирамиды — правильный
шестиугольник. Одно из боковых ребер
пирамиды перпендикулярно к плоскости ее
основания и равно стороне шестиугольника.
Найдите: двугранные углы при ребрах
основания пирамиды, углы наклона боковых
ребер пирамиды к плоскости ее основания;
б) боковое ребро правильной треугольной
пирамиды составляет с плоскостью
основания угол A (A
< 45°). Найдите угол наклона плоскости,
проходящей через сторону основания и
центр шара, описанного около пирамиды, к
плоскости основания пирамиды.
Билет № 16
1. Теорема о разложении вектора по трем
некомпланарным векторам. Векторный базис
в пространстве.
2. Пирамида. Виды пирамид. Усеченная
пирамида.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в
пространстве: угол между прямой и
плоскостью»:
а) для правильного тетраэдра ABCD с
ребром а определите расстояние от точки К
— середины ребра AC — до плоскости BCD
и угол между прямой KB и этой плоскостью;
б) все ребра наклонной призмы АВСА1В1С1,
в основании которой лежит правильный
треугольник, равны a. Точка А1
равноудалена от А, В и С. Найдите
расстояние от вершины А1 до
плоскости ВСС1 и угол, который
составляет с этой плоскостью прямая А1С.
Билет № 17
1. Задание пространственных фигур
уравнениями и неравенствами. Уравнение
плоскости.
2. Центральная симметрия в пространстве и
ее свойства. Примеры центрально-симметричных
пространственных фигур.
3. Задача по теме «Пирамида»:
а) в правильном тетраэдре ABCD точки К
и L — середины ребер AD и ВС
соответственно. Найдите угол между KL и
высотой СС1 треугольника AВС;
б) объем пирамиды ABCD равен V.
Найдите объем пирамиды KNBP, если В —
середина АР, K лежит на ребре AD и
АК : KD = 3, N — точка пересечения
медиан грани BCD.
Билет № 18
1. Вывод формулы расстояния от точки до
плоскости в координатах.
2. Призма. Виды призм.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в
пространстве: угол и расстояние между
прямыми»:
а) два прямоугольных неравных друг другу
треугольника ABD и CBD имеют по
острому углу Z,
общий катет BD = а и общую вершину
прямого угла D. Найдите угол и
расстояние между прямыми АВ и CD,
если плоскости ABD и CBD взаимно
перпендикулярны;
б) найдите расстояния и углы между
диагональю AС1 куба ABCDA1B1C1D1
и скрещивающимися с ней диагоналями
граней этого куба, если ребро куба равно 1.
Билет № 19
1. Вычисление объемов фигур вращения (с
помощью интеграла). Вывод формулы для
вычисления объемов, конуса, шара.
2. Двугранный угол. Линейный угол
двугранного угла. Теорема о равенстве всех
линейных углов данного двугранного угла.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в
пространстве: расстояние между точками и
от точки до прямой»:
а) К — середина стороны AD
квадрата ABCD со стороной а. Квадрат
перегнули по прямой КС так, что
образовался двугранный угол 60°. Найдите
расстояние между точками В и D;
б) внутри двугранного угла величины
(
< 90°) взята точка М, удаленная от граней
двугранного угла на а и b
соответственно. Найдите расстояние от М
до ребра двугранного угла.
Билет № 20
1. Вывод формулы для вычисления объема
пирамиды.
2. Симметрия относительно плоскости. Ее
свойства.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в
пространстве: расстояние от точки до
плоскости»:
а) квадрат ACMD и правильный
треугольник АВС расположены так, что
двугранный угол М(АС)В =120°, АС = а.
Найдите расстояние от точки В до
плоскости квадрата и от точки М до
плоскости треугольника;
б) дана правильная шестиугольная
пирамида SABCDME (S — вершина). Найдите
расстояние от плоскости SAB до каждой,
не лежащей на ней, вершины пирамиды, если
точка пересечения медиан грани SDM удалена
от плоскости SAB на 8 см.